Modélisation et résolution floue
Nous étudions la résolution réelle de systèmes à coefficients flous, l'un des enjeux majeurs dans le champ de la modélisation incertaine, qui s'étend à un large spectre d'applications en sciences, comme l'ingénierie, l'économie et les sciences sociales.
Introduction d'une méthode complète pour calculer les solutions réelles des systèmes flous
2016-2019Dans un travail effectué au sein du LIP6 avec l'équipe Algorithmes, Programmes et Résolution, nous avons étudié les systèmes flous, où les coefficients sont des nombre flous, qui permettent de capturer l’incertitude autour d’une valeur donnée. Ces nombres flous, issus des expériences, sont donnés sous une représentation appelée "tuple" qui, bien que formelle, ne peut être traitée par les méthodes algébriques habituelles (bases de Gröbner, décomposition triangulaire... ).
Cette représentation en tuple est transformable en une autre représentation dite "paramétrique", où les coefficients ne sont plus flous mais réels, obtenue en inversant les fonctions de dispersions associées aux coefficients flous. De nombreuses méthodes locales sont utilisées pour résoudre des systèmes à coefficients flous. Étant donné un système flou (S) de s équations et k indéterminées, les méthodes algébriques globales existantes effectuent des calculs avec la représentation paramétrique des coefficients, en se limitant au cas des nombres flous triangulaires.
Ce travail a débuté durant mon stage de Master, par la conception d'une bibliothèque pour modéliser et gérer des nombres flous. Le but était d'implanter la méthode algèbrique de Wu Wen Tsun pour résoudre un système de polynômes à coefficients flous triangulaires. Suite à ce stage, nous avons étendu et renforcé l'approche globale de résolution. Nous avons montré que ces calculs sont superflus et avons présenté une formule, la transformation réelle, qui définit un système équivalent avec moins d'équations et possédant les mêmes solutions positives que le système de départ. Cette méthode peut s'appliquer à n'importe quelle famille de nombre flous, et ce, sans avoir à calculer l'inverse des fonctions de dispersions. Une adaptation de ces résultats aux nombres flous trapézoïdaux a été donnée.
Pour résoudre des équations avec des coefficients flous symétriques, il faut également se poser la question du signe des solutions. Cette question est intrinsèque aux nombres flous et provient du fait que la multiplication d'un nombre flou par un scalaire réel s'exprime différemment selon le signe de ce scalaire. Notre stratégie a consisté à nous concentrer sur les solutions positives en reportant a priori sur les coefficients flous ce problème de signes. Nous avons rendu possible cette stratégie en exprimant l'ensemble des solutions réelles de (S) à partir des solutions positives de systèmes réels induits, dont certains sont identiques. Pour identifier les systèmes induits identiques, nous avons proposé un algorithme optimisé implémenté dans la bibliothèque Fuzzy en SageMath, avons décrit une parallélisation de l'algorithme et illustré son fonctionnement.
Valorisations
L’ensemble de ces activités de recherche a été valorisé par des publications dans :- 1 revue internationale : Fuzzy Sets and Systems (Q1), 2020;
- 1 conférence internationale : Fuzzy Computation Theory and Application de la 11ème International Joint Conference on Computational Intelligence, 2019;
- 1 présentation aux Journées Nationales de Calcul Formel au Centre international de rencontres mathématiques à Luminy, Marseille, 2018.